• Si le premier terme est \(u_0\) alors \(u_n=u_0+nr\)
• Si le premier terme est \(u_p\) alors \(u_n=u_p+(n-p)r\)       (avec \(p\in\mathbb{N}\) )

• Dans le cas de la somme de termes d'une suite arithmétique, la sommes est égale à \[\dfrac{(\text{premier terme}+\text{dernier terme})\times\text{nombre de termes}}{2}.\]

• \(u_0+u_1+....+u_n=\dfrac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}.\)
• \(u_p+u_{p+1}+....+u_n=\dfrac{(u_p+u_n)(n-p+1)}{2}.\)

• démontrer que \[1+2+3+ .... +n=\dfrac{n(n+1)}{2}\]
• et démontrer que \[u_0+u_1+....+u_n=\dfrac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}.\]
• terminez les exercices 3 et faire à 4 + 6 ici

1. Définitions et premières propriétés
Une suite \((u_n)\) a pour limite le réel \(\ell\) lorsque tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
Autrement dit, pour tout réel \(\epsilon > 0\), on peut trouver un rang \(n_0\) tel que, pour tout entier \(n > n_0\), on a \(\ell - \epsilon < u_n < \ell + \epsilon\) soit encore \[u_n\in ]\ell-\epsilon~;~ \ell+ \epsilon[.\]
• Cette définition revient à dire que la suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\) lorsque : Pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un rang \(n_0\) tel que pour tout \(n\geqslant n_0\), \[|u_n-\ell|<\epsilon.\]
• \(|u_n-\ell|\) représente la distance entre \(u_n\) et \(\ell\).

On note alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=\ell\).

Propriété Si une suite \((u_n)\) a pour limite le réel \(\ell\), alors cette limite est unique.

Propriété Ces propriétés sont à connaître :

• \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0^+\)
• \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0^+\)
• \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^2}=0^+\)
• Plus généralement, pour tout entier \(k\in\mathbb{N}^\ast\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^k}=0^+\)
• Si \( -1 < q < 1\), alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}q^n=0\)

Preuve du premier résultat.

• \(u_n=2n+3\)
• \(v_n=\dfrac{2^n}{3^{n+1}}\)
• \(w_n=\dfrac{n^2-4}{n+2}\)

On pour d’abord calculer quelques termes à la main :
• \(S_1=1^2=1\).
• \(S_2=1^2+2^2=5\)
• \(S_3=1^2+2^2+3^2=14\)

1. Techniques pour l'étude de la monotonie :
   • Pour démontrer qu'une suite est croissante/décroissante, quand elle est définit par une relation de récurrence, on peut utiliser des enchaînements
     - on additionne/soustrait la même quantité à gauche et à droite,
     - soit en multipliant à gauche et à droite (attention si le nombre est négatif, les inégalités changent de sens)
     - soit en divisant (on peut avoir le même problème et en plus il faut vérifier que ce nombre est non nul).
   • Pour gérer les enchaînements, on peut penser par passer que par les opérations : sommes, multiplications, changement de signes et passage à l'inverse :
     - Exemple : \[u_{n+1}= \dfrac{9}{6-u_n}=9\times\dfrac{1}{6-u_n}=9\times\dfrac{1}{6+(-u_n)}\] - Les enchaînements seront plus simples, on commence ici par \(u_n\), on change le signe, on additionne 6, on passe à l'inverse, et on multiplie par \(9\).
2. Techniques pour la minoration/majoration :
   • On peut penser à des raisonnements par récurrence, en utilisant les enchaînements, voire l'exemple ci-dessus.
   • On peut également penser à comparer, comme si on faisait une résolution d'inéquation au brouillon et en renversant le raisonnement dans l'autre sens pour arriver à la majoration ou à la minoration.
     - Exemples : \[\dfrac{2n+3}{n+2}≤2\Rightarrow \dfrac{2n+3}{n+2}-2≤0 \Rightarrow ... \Rightarrow \dfrac{-1}{n+2} ≤ 0.\] ce qui est clairement le cas car \(n+2>0\)
     - Au propre : on part ensuite de \[-1≤0 \Rightarrow \dfrac{-1}{n+2} ≤ 0 \Rightarrow ... \Rightarrow \dfrac{2n+3}{n+2}-2≤0 \Rightarrow ... \Rightarrow \dfrac{2n+3}{n+2}≤2~~\text{car : } n+2>0\]
   • Dans le cas où la suite n'est pas définie par une relation de récurrence, on peut penser au fait que : \(-1≤(-1)^n≤1 ...\) puis on continuer avec des enchaînements.

• Soit la suite $\((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et \[u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{u_n}\]
  1. Montrer par récurrence que \(u_n>0\) pour tout \(n\) entier naturel.
  2. En déduire que la suite est croissante.
• Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \[u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{u_n+3}\]
  1. Montrer que \(u_{n+1}=1-\dfrac{2}{u_n+3}\)
  2. Montrer que \(u_n>0\) pour tout \(n\) entier naturel.
  3. Montrer que la suite est décroissante
• Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_n=\dfrac{2n+1}{n+1}\),
  1. montrer que cette suite est majorée par \(2\).
  2. Quelle est la monotonie de cette suite, le prouver.
  3. Conclure.
• Montrer que la suite \((u_n)\) définie par \[u_n=\dfrac{(-1)^n n+\cos n}{1+n}\] est bornée.

---

• Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par \(u_n=\dfrac{2n+3}{n+1}\) et \(v_n=\dfrac{u_n}{u_n+2}\)
  1. Montrer que \((u_n)\) est bornée par 2 et 3.
  2. et que \((v_n)\) es bornée par 0,5 et 0,6.

1. Limite d’une somme de suites

2. Limite d’un produit de suites

Exemples

• formes indéterminées.
• formes classiques

1. Si \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=+\infty\)
2. Si \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty\)

• On considère une suite \((u_n)\) pour laquelle il existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n \geqslant n_0\), \(u_n > n^2+1\). Comme \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}(n^2+1) = +\infty\), d'après le théorème de comparaison, on en déduit que \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n = +\infty\).
• On considère une suite \((v_n)\) telle que, pour tout \(n \in \N\), \(v_n <-3n\). Comme \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}(-3n) = -\infty\), d'après le théorème de comparaison, on en déduit que \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty\).

• \(-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1\),
• \(-1 \leqslant \sin (n) \leqslant 1\), de même pour le \(\cos\),
• \(-1 \leqslant \cos (n) \leqslant 1\).

1. \((uv)'=u'v+v'u\) selon l’intersection des intervalles de dérivabilité de \(u\) et \(v\).
2. \(\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{1}{v^2} \times v'\)
3. \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\) attention, il faut en plus que \(v(x)\ne 0\) pour tout \(x\).
4. \((u^2)'=2uu'\)
5. \(\left(\dfrac{1}{v}\right)'(x)=-\dfrac{1}{v^2(x)}\times v'(x)\)
6. \((\sqrt{u})'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}(x)\times u'(x)\)

II Convexité
1. Fonction convexe
Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On dit que \(f\) est convexe sur \(I\) quand sa courbe représensattive est située en dessous de chacune de ses sécantes entre les deux points d’intersection.
Illustration par un graphique
Propriété Soit \(f\) une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle \(I\).
Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
• \(f\) est convexe sur \(I\) ;
• la courbe représentative de \(f\) est entièrement située au-dessus de ses tangentes ;
• \(f'\) est croissante sur \(I\) ;
• \(f"\) est positive sur \(I\).

Propriété Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\). La courbe représentative de la fonction \(f\) admet un point d’inflexion au point d’abscisse \(a\) si, et seulement si, \(f''\) s’annule en changeant de signe en \(a\).

Chapitre III Limites de fonctions

I Limites de fonctions : définitions et premières propriétés
1. Limite à l’infini

Définition limite infinie à l’infini
Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D}_f\), telle qu’il existe un réel \(a\) pour lequel \([a;~+\infty[\) est inclus dans \(\mathcal{D}_f\).
On dit que \(f\) est définie au voisinage de \(+\infty\). Dire que \(f\) a pour limite \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) signifie que, quel que soit le réel \(A\), il existe \(m \geqslant a\) tel que, pour tout \(x \in \mathcal{D}_f\), si \(x > m\), alors \(f(x) > A\).
Notation : On note : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty\)
On définit de façon similaire \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty\), \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty\).

Définition limite finie à l’infini
Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D}_f\), telle qu’il

existe un réel \(a\) pour lequel \([a; +\infty[\) est inclus dans \(\mathcal{D}_f\). Soit \(\ell\in \mathbb{R}\).
Dire que \(f\) a pour limite \(\ell\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) signifie que, quel que soit \(\epsilon > 0\), il existe \(m \geqslant a\) tel que, pour tout \(x \in \mathcal{D}_f\) , si \(x > m\), alors \(|f(x)-\ell|<\epsilon\).
On note : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=\ell\).
On définit de façon similaire \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=\ell\).

Propriété
• Pour tout \(n \in \mathbb{N}^\ast\), \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}x^n= +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x^n} =0\).
• Pour tout \(n \in \mathbb{N}^\ast\), si \(n\) est pair, \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}x^n= +\infty\) et, si \(n\) est impair, \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}x^n= -\infty\).
• Pour tout \(n \in \mathbb{N}^\ast\), \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\dfrac{1}{x^n} =0\).
• \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\sqrt{x} =+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}} =0\).

propriété Les limites à l’infini de la fonction exponentielle sont :

\[\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\text{e}^x=+\infty~~\text{et}~~\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\text{e}^{x}=0.\]

Définition Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de l’espace.
\(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires lorsqu’il existe un nombre réel \(\lambda\) non nul tel que \(\overrightarrow{u} = \lambda \overrightarrow{v}\) ou \(\overrightarrow{v} = \lambda \overrightarrow{u}\)

Remarque : Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Propriété Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points de l’espace deux à deux distincts. Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si, et seulement si, les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Remarque : Des vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction.

Définition On considère quatre points distincts de l’espace \(O\), \(A\), \(B\) et \(C\) et on définit trois vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) par \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OB}\) et \(\overrightarrow{w} = \overrightarrow{OC}\).
On dit que \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) sont coplanaires lorsque les points \(O\), \(A\), \(B\) et \(C\) appartiennent à un même plan (c’est-à-dire lorsque \(O\), \(A\), \(B\) et \(C\) sont coplanaires).

Remarque : Le vecteur nul est toujours coplanaire à deux autres vecteurs quelconques.

Propriété Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de l’espace tels que \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas colinéaires (ainsi, \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas nuls).
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux nombres réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(\overrightarrow{w} = \lambda\overrightarrow{u} + \mu\overrightarrow{v}\).

Vocabulaire : On dit que \(\overrightarrow{w}\) est une combinaison linéaire de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).

Faire les exercices 23 à 26 sur fiche ici et ici

2. Droites de l’espace

Définition Soient \(A\) un point de l’espace et \(\overrightarrow{u}\) un vecteur non nul. L’ensemble des points \(M\) de l’espace tels que \(\overrightarrow{AM} = \lambda\overrightarrow{u}\), avec \(\lambda\in\mathbb{R}\), est une droite.
\((A, \overrightarrow{u})\) est un repère de cette droite : on dit que la droite est dirigée par \(\overrightarrow{u}\).

Remarque : \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur directeur de la droite.

Définition Dans l’espace, deux droites peuvent être coplanaires ou non.
Si elles sont coplanaires, alors elles appartiennent à un même plan. Elles peuvent donc être sécantes (avoir un point d’intersection) ou parallèles (strictement parallèles ou confondues).

Attention : Dans l’espace, des droites non sécantes ne sont pas nécessairement parallèles.

Remarque : Lorsque les droites sont coplanaires, on retrouve les résultats obtenus en géométrie plane.

3. Plans de l’espace

Définition Soient \(A\) un point de l’espace et \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non colinéaires de l’espace.
L’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM} = \lambda\overrightarrow{u} + \mu\overrightarrow{v}\) (où \(\lambda\) et \(\mu\) sont des réels) est un plan de l’espace. \((A;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v})\) est un repère du plan. On dit que le plan est dirigé par la base \((\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v})\).

Définition
• Position relative de deux plans.
Position relative d’une droite et d’un plan de l’espace.

Remarque : Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points non alignés. Ils définissent alors le plan dont un repère est \((A;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC})\).

Méthode Pour déterminer l’intersection de deux plans, il faut :
• justifier qu’ils sont sécants ;
• déterminer leur droite d’intersection : il suffit alors de déterminer deux points qui appartiennent aux deux plans.

1. Coordonnées d’un point de l’espace

Définition Un repère de l’espace est défini par la donnée d’un point O de l’espace et d’une base \((\overrightarrow{i},~\overrightarrow{j},~\overrightarrow{k})\) de l’espace.

Définition On considère un repère \((O;~\overrightarrow{i},~\overrightarrow{j},~\overrightarrow{k})\) Pour tout point \(M\) de l’espace, il existe un unique triplet de réels \((x;~y;~z)\) tel que : \(\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i}+ y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}\). \(x,~y\) et \(z\) sont les coordonnées de \(M\) dans le repère \((O;~\overrightarrow{i},~\overrightarrow{j},~\overrightarrow{k})\).

2. Opérations sur les coordonnées

L’espace est rapporté à un repère \((O;~\overrightarrow{i},~\overrightarrow{j},~\overrightarrow{k})\).

Propriété On considère les points \(A(x_A;~y_A;~z_A)\) et \(B(x_B;~y_B;~z_B)\).
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont \(\left(\begin{array}{c}x_B-x_A \\y_B-y_A \\z_B-z_A\end{array}\right)\)

Propriété On considère les points \(A(x_A;~y_A;~z_A)\) et \(B(x_B;~y_B;~z_B)\).
Les coordonnées du milieu \(I\) de \([ABl]\) sont \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};~\dfrac{y_A+y_B}{2};~\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\).

Exemples
• Pour \(A(1;~-1;~2)\) et \(B(3;~1;~-4)\), on a \(\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}3-1 \\1-(-1) \\-4-2\end{array}\right)\) soit \(\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}2\\2 \\-6\end{array}\right)\).
• Si \(A(3;~4;~-4)\) et \(B(-1;~6;~2)\), alors le milieu \(I\) de \([AB]\) a pour coordonnées : \(\left(\dfrac{3+(-1)}{2};~\dfrac{4+6}{2};~\dfrac{-4+2}{2}\right)\). Donc \(I(1;~5;~-1)\).

Propriété On considère les vecteurs \(\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x_{\overrightarrow{u}} \\y_{\overrightarrow{u}} \\z_{\overrightarrow{u}}\end{array}\right)\) et \(\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}x_{\overrightarrow{v}} \\y_{\overrightarrow{v}} \\z_{\overrightarrow{v}}\end{array}\right)\) et \(\alpha\) est un nombre réel.

• les coordondes du vecteur \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\) sont \(\left(\begin{array}{c}x_{\overrightarrow{u}}+x_{\overrightarrow{v}} \\ y_{\overrightarrow{u}}+y_{\overrightarrow{v}} \\ z_{\overrightarrow{u}}+z_{\overrightarrow{v}}\end{array}\right)\).
• Les coordonnées du vecteurs \(\alpha\overrightarrow{u}\) sont : \(\left(\begin{array}{c}\alpha x_{\overrightarrow{u}} \\\alpha y_{\overrightarrow{u}} \\\alpha z_{\overrightarrow{u}}\end{array}\right)\)

Exemple

Soient les vecteurs \(\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2 \\-3 \\-1\end{array}\right)\) et \(\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}5 \\0 \\-5\end{array}\right)\). Le vecteur \(\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}\) a pour coordonnées :

\[\left(\begin{array}{c}2 \\-3 \\-1\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c}5 \\0 \\-5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 \\-3 \\-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}15 \\0 \\-15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}17 \\-3 \\-16\end{array}\right).\]

Application et méthode - 6

Dans un repère \((O;~\overrightarrow{i},~\overrightarrow{j},~\overrightarrow{k})\), on donne les points \(E(-1;~3;~2)\), \(F(2;~-1;~3)\) et \(G(-1;~0;~1)\).
Déterminer les coordonnées du point \(M\) défini par \(\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{EF} +2\overrightarrow{EG}\).

correction des exercices.

I Notion de continuité

1. Fonction continue

Définition Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et a un réel appartenant à \(I\).

• \(f\) est continue en \(a\) lorsque \(f\) admet une limite en \(a\) et que cette limite est \(f(a)\).
• \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) lorsqu’elle est continue en \(a\) pour tout \(a \in I\).

Remarque : la représentation graphique d’une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon.

2. Opérations et fonctions continues

Propriété Toute fonction dérivable sur un intervalle \(I\) est continue sur \(I\).

Propriété

• Les fonctions de référence (polynômes, valeur absolue, exponentielle, racine carrée, etc.) sont continues sur leur intervalle de définition.
• La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle I sont continues sur cet intervalle.
• Si \(f\) et \(g\) sont continues sur \(I\) et si \(g\) ne s’annule pas sur \(I\), alors \(\dfrac{f}{g}\) est continue sur \(I\).

1. Application de la continuité

Propriété Soient \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \((u_n)\) une suite d’éléments de \(I\) convergeant vers \(a\in I\). Alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}f(u_n)=f(a)\).

Remarque : Autrement dit, \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}f(u_n)=f\left(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n\right)\).

2. Théorème (du point fixe) Soient \(f\) une fonction définie et continue sur un intervalle \(I\) dans lui-même et \((u_n)\) la suite définie par un réel \(u_0 \in I\) et, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1} = f(u_n)\).
Si \((u_n)\) converge vers \(\ell \in I\), alors \(\ell\) est solution de l’équation \(f(x) = x\).

Chapitre VI Loi binomiale

I Introduction et rappels
ici

II Epreuve, loi et schéma de Bernoulli
1. Epreuve de Bernoulli
On appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire n’admettant que deux issues, appelées généralement succès— \(S\) et échec \(\overline{S}\) et de probabilités respectives \(p\) et \(q = 1-p\).

Définition