Un peu de mathématiques : Maths expertes

Le chapitre I sur la partie arithmétique est ici.
Le chapitre II sur les nombres complexes est ici.
Le chapitre III sur PGCD & Applications ici.

date	Contenu du cours	travail à faire
2/9	Chapitre I Arithmétique partie: Divisibilité et congruences dans \(\mathbb{Z}\) I Relation de divisibilité dans \(\mathbb{Z}\) 0. Introduction voici des exercices de révision: ici. 1. Diviseurs et multiples Définition Soient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs. On dit que \(a\) divise \(b\) lorsqu’il existe un entier relatif \(k\) tel que \(b = ka\). On dit que \(a\) est un diviseur de \(b\). On note \(a~ \| ~b\). Remarque: On dit aussi que \(b\) est un multiple de \(a\) et que \(b\) est divisible par \(a\). Exemple \(-124 = -31 \times 4\). On a donc \(-31~\|~-124\) et \(4~\|~-124\). Remarque: Pour tout entier \(a\), \(1\times a = a\) donc 1 divise \(a\) et \(a\) divise \(a\). De plus, \(0 \times a = 0\) donc tout entier divise 0. L’ensemble des diviseurs de 0 est \(\mathbb{Z}\). Propriété(Conséquences) Soit \(n\) un entier relatif non nul. Tout diviseur de \(n\) est compris entre \(-\|n\|\) et \(\|n\|\). Tout entier relatif non nul \(n\) a donc un nombre fini de diviseurs. PropriétéSoient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs. On a les équivalences suivantes: \[a~\|~b \iff (-a)~\|~b \iff a~\|~(-b) \iff (-a)~\|~(-b).\]	Faire sur la fiche les exercices 1 à 3 : ici Montrez que dans le cas d’un nombre à 3 chiffres: si la somme de ses chiffres est divisible par 3 alors le nombre est divisible par 3 Démontrer la dernière propriété
8/9	correction des exercices et démonstrations des propriété du cours. 2. Propriétés de la divisibilité Propriété Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois entiers relatifs. Si \(a~\|~b\) et \(b~\|~c\), alors \(a~\|~c\).	Pour la prochaine fois: démontrer les propriétés 3 et 4 ici + exercice 20 à 25 + 35 et 36 ici
9/9	correction des exercices. Mise en place d'algorithme. `# Entrée n=int(input("n=")) # initialisation Somme = 0 L = [] # Traitement for i in range(1, n): if n/i == n//i: L.append(i) Somme += i # même chose que : Somme = Somme + i # Sortie print ("Mes résultats : ", L, Somme)` Avec des fonctions : def div_strict(n): # initialisation Somme = 0 L = [] # Traitement for i in range(1, n): if n/i == n//i: L.append(i) Somme += i # même chose que : Somme = Somme + i return L, Somme def recherche_amiable(sup): for i in range (1,sup+1): L1, Somme1 = div_strict(i) L2, Somme2 = div_strict(Somme1) #print(i,Somme1, Somme2) if Somme2 == i: print(i, Somme1,"sont amiables") def nbr_parfait(sup): for i in range (1,sup+1): L1, Somme1 = div_strict(i) if Somme1 == i: print("parfait : Somme",L1,"=", i) # Entrée n=int(input("n=")) # Sortie #print ("Mes résultats : ", div_strict(n)) recherche_amiable(n) #nbr_parfait(n) Vous terminerez, tous les algorithmes de l'exercice 24.	Pour la prochaine fois: Terminer de démontrer les propriétés 3 et 4 ici + Terminer exercices 24 à 25 + 35 et 36 ici
15/9	Correction de tous les exercices. Remarque: Une telle propriété est appelée propriété de transitivité. Exemple On a \(19~\|~38\) et \(38~\|~114\) donc \(19~\|~114\). Propriété Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois entiers relatifs. • Si \(a~\|~b\) et \(a~\|~c\) alors, quels que soient les entiers \(m\) et \(n\), on a \(a~\|~(mb+ nc)\). • En particulier, si \(a~\|~b\), alors \(a~\|~(a+b)\) et \(a~\|~(a-b)\). Rappels : Propriété Si \(n\) est pair alors \(n^2\) l'est également Si \(n\) est impair alors \(n^2\) l'est également Preuve Rappels : Propriété réciproque Si \(n^2\) est pair alors \(n\) l'est également Si \(n^2\) est impair alors \(n\) l'est également Preuve On passera ici par la contraposée de la première propriété.	16/9: 27 à 30 sur fiche + 37 à 38 sur fiche ici + Démontrer que \(\sqrt2\) ne peut s'écrire sous forme de fraction (on utilisera un raisonnement par l'absurde).
22/9	correction des exercices. II Division euclidienne 1. Division euclidienne dans \(\mathbb{N}\) Théorème Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels avec \(b \ne 0\). Alors il existe un unique couple d’entiers naturels \((q;~r)\) satisfaisant les deux conditions: \[a = bq+r~~~\text{et}~~0 \leqslant r < b.\] Cette relation est la division euclidienne de \(a\) par \(b\). \(q\) s’appelle le quotient de la division euclidienne de \(a\) par \(b\). \(r\) s’appelle le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\). Remarques \(a\) s’appelle le dividende et \(b\) le diviseur dans la division euclidienne de \(a\) par \(b\). Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels avec \(b \ne 0\). \(b~\|~a\) si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\) est nul. Démonstration de la première partie du théorème Propriété Soit \(b\) un entier naturel tel que \(b \geqslant 2\). Tout entier \(a\) s'écrit sous une, et une seule, des formes \(bq,~bq + 1,~bq + 2,~...,~bq + (b- 1)\), où \(q\) est un entier. Théorème division euclidienne (admis) : Pour tout entier relatif \(a\) et tout entier naturel \(b\) non nul, il existe un unique couple d'entiers \((q;~ r)\) tel que \[a = bq+~~~\text{et}~~~0\leqslant r< b.\] \(q\) est un entier relatif et \(r\) est un entier naturel.	Faire les exercices 44 à 50 ici
23/9	Correction des exercices.	Rien : prochain vous aurez un DS
29/9	Correction des exercices. III Congruences 1. Définition Définition: Soient \(m\) un entier naturel non nul, et \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs. On dit que \(a\) et \(b\) sont congrus modulo \(m\) lorsqu’ils ont le même reste dans la division euclidienne par \(m\). On dit aussi que \(a\) est congru à \(b\) modulo \(m\). Notation On note \(a \equiv b~[m]\) ; on note aussi \(a \equiv b~(m)\) ou \(a \equiv b ~\text{mod} m\). Exemple \(15 = 2\times7 + 1\) et \(21 = 2\times 10 + 1\) donc \(15 \equiv 21~[2]\). ThéorèmeSoient \(m\) un entier naturel non nul et \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs. \(a \equiv b~[m]\) si, et seulement si, \(m~\|~(a-b)\). Remarque: En particulier, si \(a \equiv 0~[m]\), alors \(m~\|~a\). 2. Congruences et opérations Propriété Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois entiers relatifs et \(m\) un entier naturel non nul. Si \(a \equiv b~[m]\) et \(b \equiv c~[m]\), alors \(a \equiv c~[m]\). Remarque: la congruence est ... transitive aussi Propriété Soient \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) quatre entiers relatifs et \(m\) un entier naturel non nul. 1. Compatibilité avec l’addition si \(a \equiv b~[m]\) et \(c \equiv d~[m]\), alors \(a + c \equiv b + d~[m]\). 2. Compatibilité avec la multiplication Si \(a \equiv b~[m]\) et \(c \equiv d~[m]\), alors \(a \times c \equiv b\times d~[m]\). 3. Compatibilité avec les puissances Soit \(p\) un entier naturel non nul. Si \(a \equiv b~[m]\), alors \(a^p \equiv b^p~[m]\).	57 à 63 sur fiche: ici
30/9	correction de tous les exercices. • Aujourd’hui: ici	• Exercice 51 + 64 à 67 + réviser pour le contrôle.
6/10	devoir surveillé	• Exercice 51 + 64 à 67 + réviser pour le contrôle.
7/10	4. Inverse modulo \(m\) Définition Soient \(a\) un entier relatif et \(m\) un entier naturel non nul. On dit que \(a\) est inversible modulo \(m\) lorsqu’il existe un entier \(b\) tel que \(a \times b \equiv 1~[m]\).	Exercices: 50 à 53: ici.
13/10	correction des exercices. Application de la division euclidienne • Décomposition en base 2 de nombres. Le programme permettant de transformer un nombre décimal en binaire On procède dans ce cas à des divisions euclidiennes successives, à chaque fois sur le quotient obtenu on réitère .... Intérêt aussi également du langage binaire et de l’arithmétique Voici deux adresses ip de deux machines dans un réseau domestique: • 192.168.0.1 -> 1100 0000 1010 1000 0000 0000 0000 0001 • 192.168.0.2 -> 1100 0000 1010 1000 0000 0000 0000 0010 Masque de sous réseau: • 255.255.255.0 -> 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000 0000 c’est ce que l’on appelle un réseau de Classe C. • On fait alors un ET binaire (parfois noté & en C), pour savoir si les deux machines peuvent communiquer dans le même sous réseau!!! • On obtient pour les deux adresses IPs: 1100 0000 1010 1000 0000 0000 0000 0000 -> 192.168.0.0 Elles sont donc dans le même sous réseau: 192.168.0.0 Merci les nombres entiers et l'algèbre de Boole !!!! Chapitre II Nombres complexes: point de vue algébrique I Introduction Révision: ici Voici la correction de votre devoir surveillé ici	Faire la décomposition de 77, 65 et 127 en base 2 en base 8 et en base 16. • Faire les exercices 2 à 4 : ici .
18/10	correction de l’activité. I Ensemble de nombres complexes 1. Notion de nombres complexes Propriétés (admises) Il existe un ensemble, noté \(\mathbb C \), des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes • \(\mathbb C \) contient l’ensemble \(\mathbb R \) des nombres réels. • L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul sont les mêmes. • Il existe un nombre complexe noté \(i\) tel que \(i^2=-1\). • Tout nombre complexe \(z\) s’écrit de manière unique \(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\) nombres réels. Définitions l’écriture \(z=x+iy\) avec \(x\in\mathbb R \) et \(y\in\mathbb R \), est appelé forme algébrique du nombre complexe \(z\). \(x\) est la partie réelle de \(z\), notée \(Re(z)\) et \(y\) est la partie imaginaire de \(z\), notée \(Im(z)\). Vocabulaire: dans l’écriture \(z=x+iy\). • quand \(y=0\), \(z\) est appelé nombre réel. Propriété Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. En effet, la forme algébrique d’un nombre complexe est unique, donc \(a+ib=c+id\) équivaut à \(a=c\) et \(b=d\) (avec \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) nombres réels). Remarque: en particulier \(a+ib=0\) équivaut à \(a=0\) et \(b=0\). 2. Addition, multiplication dans \(\mathbb C \) d’après les propriétés de l’ensemble \(\mathbb C\), on additionne et on multiplie dans \(\mathbb C\) comme dans \(\mathbb R\), en tenant compte de \(i^2=-1\). En particulier, les identités remarquables dans \(\mathbb C \).	3 et 4/11: Je vous ai mis la portion de cours qui est purement texte et définition sans grandes difficultés et 18, 19 et 20 + 26 à 29 sur la page donnée ci-dessous:
4/11	Propriété On a défini dans \(\mathbb{C}\) une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles que l’addition et la multiplication dans \(\mathbb{R}\). Quels que soient les réels \(k,~a,~b,~a'\) et \(b'\), on a donc: • \((a+\text{i} b) + (a'+\text{i} b')=(a+a') +\text{i}(b+b')\); • \((a+\text{i} b) - (a'+\text{i} b')=(a-a') +\text{i}(b-b')\); • \(k(a + \text{i} b) = (ka) +\text{i}(kb)\); • \((a+\text{i} b)(a' + \text{i} b')= (aa'- bb') +\text{i}(ab'+ a'b)\). Remarque: Pour tous nombres complexes \(z\) et \(z'\) et pour tout réel \(k\), on a: • \(\text{Re}(z+z')= \text{Re}(z) + \text{Re}(z')\); • \(\text{Im}(z+z') = \text{Im}(z) + \text{Im}(z')\); • \(\text{Re}(kz) = k\text{Re}(z)\); et \(\text{Im}(kz) = k\text{Im}(z)\). On parle de linéarité des parties réelle et imaginaire. Exemples • \(\text{i}^3=\text{i}^2\times \text{i}=-1\times \text{i}=-\text{i}\). • \(3 + 2\text{i} - (3\text{i}-2) = 3 + 2\text{i}-3\text{i}+2 = 5-\text{i}\); • \((3-2\text{i}) (2+3\text{i})=3\times 2+3\times 3\text{i}-2\text{i}\times2-2\times 3\text{i}^2=12+5\text{i}\). Propriété Pour tous nombres complexes \(z\), \(z'\) et \(z''\), on a: • Commutativité: \(z+z' = z'+z\) et \(zz' = z'z\). • Associativite: \((z+z')+z''=z+(z'+z'')=z+z'+z''\) et \((zz')\times z''=z\times(z'z'')=zz'z''\). • Éléments neutres: \(z + 0 = z\), \(z + (-z) = 0\) et \(z \times 1 = z\). • Règles de calculs: \(z(z'+z'') = zz' + zz''\) et \(zz' = 0 \iff z=0\) ou \(z' = 0\). Remarque: Ces propriétés traduisent la commutativité et l’associativité de l’addition et de la multiplication, ainsi que la distributivité de la multiplication sur l’addition dans \(\mathbb{C}\). L’égalité \(zz' = z'z\) permet de définir \(z^n\) avec \(n \in \mathbb{N}\). Preuve: On écrit \(z= a +\text{i} b\), \(z'= a' +\text{i} b'\) et \(z''= a" + \text{i} b"\) avec \(a\), \(b\), \(a'\), \(b'\), \(a''\) et \(b"\) des réels. Les démonstrations découlent de la définition et des propriétés de l’addition et de la multiplication dans \(\mathbb{R}\). Propriété (Conséquences)Pour tous réels a et b, on a: \[(a+\text{i} b)^2 = a^2- b^2+ 2\text{i} ab~ ; ~(a-\text{i} b)^2 = a^2- b^2- 2\text{i} ab~ ; ~(a + \text{i} b)(a-\text{i} b) = a^2+ b^2.\] Preuve On développe comme dans \(\mathbb{R}\) en utilisant \(i^2= -1\). Remarque: De manière générale, \(\text{Re}(z^2) \ne (\text{Re}(z))^2\) et \(\text{Im}(z^2) \ne (\text{Im}(z))^2\).	30 à 32
10/11	correction des exercices. III Binôme de Newton 1. Coefficient binomiaux: triangle de pascal III Formule du binôme dans \(\mathbb{C}\) 2. La formule du binôme on peut réécrire cette somme dans un meilleur ordre aussi, comme cela en échangeant le rôle de \(a\) et de \(b\) Propriété Pour tous complexes \(a\) et \(b\) et pour tout entier naturel \(n\geqslant1\). De façon condensée, cette formule s’écrit: \[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n \\k\end{array}\right)a^kb^{n-k}\] Voici la correction de votre DS : ici	Développer et réduire \((x+2)^5\) + 82, 83 89 et 92 ici
17/11 et 18/11	II Nombres complexes conjugués 1. Définition et propriétés algébriques Définition Le conjugué d’un nombre complexe \(z\) est le nombre complexe noté z défini par: \[\overline{z} = \text{Re}(z)-i\times \text{Im}(z).\] Remarque: Si \(z\) est un nombre complexe et si \(a\) et \(b\) sont les réels tels que \(z= a +i b\), alors \(\overline{z}= a-i b\). Exemples \(\overline{i}=-i\) Pour tout \((a~;~b) \in \mathbb{R}^2\), \(\overline{a} = a\) et \(\overline{i b} =-i b\). Si \(z = 3 + 2i\), alors \(\overline{z} = 3- 2i\). Propriété \(\overline{\overline{z}}=z\); \(z-\overline{z}=2i\times\text{Im}(z)\); \(z\in i\mathbb{R} \iff \overline{z}=-z\); \(z+\overline{z}=2\text{Re}(z)\); \(z\in \mathbb{R} \iff \overline{z}=z\); \(z\times\overline{z}=(\text{Re}(z))^2+(\text{Im}(z))^2\). Preuve Remarque: En notant \(z= a + i b\) avec \(a\) et \(b\) réels, on a \(z\overline{z} = a^2+b^2 \in\mathbb{R}^+\). Application et méthode - 3 Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes: \(2\overline{z}2i=4 +i+3\overline{z}\) \(2z + i\overline{z} = 5- 2i\). 2. Inverse et quotient Définition Soit \(z = a + i b\) un nombre complexe non nul. L’inverse de \(z\) est le nombre complexe \(z'\) tel que \(zz' = 1\) et on le note \(\dfrac{1}{z}\). On a alors: \[z'=\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a+i b}=\dfrac{a-i b}{(a+i b)(a-i b)}=\dfrac{a-i b}{a^2+b^2}=\dfrac{\overline{z}}{a^2+b^2}.\] Exemples \(\dfrac{1}{i}=-i\) \(\dfrac{1}{1+2i}=\dfrac{1-2i}{1^2+2^2}=\dfrac{1-2i}{5}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}i\). Remarque: L’égalité \(\dfrac{1}{i}=-i\) est souvent utilisée pour simplifier des quotients dont le dénominateur est un imaginaire pur. Définition Soient \(z = a + i b\) et \(z' = a' + i b'\) deux nombres complexes avec \(z' \ne 0\). Le quotient de \(z\) par \(z'\) est le nombre complexe noté \(\dfrac{z}{z'}\) tel que \(\dfrac{z}{z'} = z\times\dfrac{1}{z'}\). On a: \[\dfrac{z}{z'}=\dfrac{a+i b}{a'+i b'}=\dfrac{(a+i b)(a'-i b')}{a'^2+b'^2}=\dfrac{z\times \overline{z'}}{a'^2+b'^2}.\] Remarque: Pour déterminer la forme algébrique d’un nombre complexe \(\dfrac{z}{z'}\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\overline{z'}\). Exemple: \(\dfrac{1+i}{2i-3}=\dfrac{1+i}{-3+2i}=\dfrac{(1+i)(-3-2i)}{(-3)^2+2^2}=\dfrac{-3+2+i(-2-3)}{13}=\dfrac{-1-5i}{13}=-\dfrac{1}{13}-\dfrac{5}{13}i\).	34 à 39 page 34 et 35 ici et ici
24/11	correction des exercices. III Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2 1. Résolution des équations du second degré à coefficients réels Dans cette partie, \(a\), \(b\) et \(c\) désignent trois nombres réels avec \(a\ne0\) et \(z\) est un nombre complexe. On cherche à résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation: \(az^2+bz+c\).	40 à 42 ici.
25/11	DéfinitionOn appelle discriminant du trinôme \(az^2 + bz + c\) le nombre réel, noté \(\Delta\), défini par: \[\Delta=b^2-4ac\] Théorème Soit (E): \(az^2 + bz + c = 0\) une équation du second degré d’inconnue \(z \in \mathbb{C}\). • Si \(\Delta > 0\), alors (E) admet deux solutions réelles distinctes: \[z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~~\text{et}~~z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\] • Si \(\Delta = 0\), alors (E) admet une unique solution réelle: \(z_0 = -\dfrac{b}{2a}\). - Si \(\Delta < 0\), alors (E) admet deux solutions complexes conjuguées: \[z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{\|\Delta\|}}{2a}~~\text{et}~~z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{\|\Delta\|}}{2a}\] Remarque: Si \(\Delta < 0\), on calcule la première solution \(z\), avec une des deux formules et la deuxième solution \(z\), en utilisant Preuve	exercices: 108 à 112 page ici et ici
1/12	correction des exercices. 2. Équations polynomiales à coefficients réels Définition Soit \(n\) un entier naturel et soient \(a_0,~a_1,..., a_n\), des nombres réels avec \(a_n \ne 0\). On appelle fonction polynôme de degré \(n\) à coefficients réels (ou plus simplement polynôme de degré \(n\)), la fonction \(P\) définie sur \(\mathbb{C}\) par \(P(z) =\displaystyle {\sum_{k=0}^{n}}a_kz^k\). L’équation \(P(z) = 0\) est appelée équation polynomiale de degré \(n\). Remarque: Un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls. NOTATION On note deg (P) le degré du polynôme P. PropriétéSoient \(z\) et \(a\) deux nombres complexes. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(z^n- a^n= (z-a) \displaystyle {\sum_{k=0}^{n-1}}a^kz^{n-1-k}\) Remarques: • Lorsque \(a_n = 1\), on dit que \(P\) est unitaire. • La propriété 7. donne que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(z^n-a^n\) se factorise par \(z-a\). • Une telle opération de simplification de la somme est appelée télescopage. Propriété Soit \(a\) un nombre complexe. Soit \(P\) un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. Si \(P(a) = 0\), alors \(P\) se factorise par \(z - a\). Autrement dit, si \(P(a) = 0\), alors il existe un polynôme \(Q\) avec \(\text{deg} (Q) = \text{deg}(P) - 1\) tel que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\), \(P(z) = (z- a)Q(z)\). Preuve du théorème	exercices: 118 + 120page ici et ici recherche : 122 + 124 page ici et ici
4/12	fin de cours sur les nombres complexes (première partie)	127 et 130 en Devoir Maison : ici et ici
8/12	Chapitre III PGCD & Applications I PGCD 1. Définition et propriétés DéfinitionSoient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs non simultanément nuls. L’ensemble des diviseurs communs à \(a\) et \(b\) est une partie non vide de \(\mathbb{Z}\) (elle contient 1) et majorée (par le maximum entre la \(\|a\|\) et \(\|b\|\)). Cet ensemble admet un plus grand élément appelé Plus Grand Diviseur Commun de \(a\) et \(b\) noté PGCD(\(a;~b\)). Remarque: On utilise le lemme suivant: "Toute partie non vide et majorée de \(\mathbb{Z}\) admet un unique plus grand élément.". Propriété Soient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs non simultanément nuls. On a PGCD(\(a;~ b\)) = PGCD(\(\|a\|;~ \|b\|\)) et, pour tout couple \((a;~b) \in \mathbb{N}^2\) avec \(a \ne 0\): a. \(\text{PGCD}(a;~b) \geqslant 1\); \(\text{PGCD}(0;~a) = a\); \(\text{PGCD}(1;~a) = 1\); b. \(a\) divise \(b\) si, et seulement si, \(\text{PGCD}(a;~b) = a\); c. \(\text{PGCD} (a;~b) = \text{PGCD}(a - b~;~b)\) (Méthode de la soustraction). Exemple: PGCD (229; 225) = PGCD(229 - 225; 225) = PGCD (4; 225) = 1 car 1 est le seul diviseur positif commun à 4 et 225. 2. Algorithme d’Euclide Dans cette partie, \(a\) et \(b\) sont deux entiers naturels non nuls avec \(a > b\). Propriété 1 On note \(q\) et \(r\) le quotient et le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\). Avec ces notations, \(\text{PGCD}(a~;~b) = \text{PGCD} (b~;~r)\). Algorithme d’Euclide On définit par récurrence la suite des entier \(r_0,~r_1,~....,~r_n\) tels que: • \(r_0\) est le reste la division euclidienne de \(a\) par \(b\), tels que: • si \(r_0\ne 0\), \(r_1\) est le reste de la division euclidienne de \(b\) par \(r_0\): • pour tout \(k \in \{1;...; n- 1\}\), si \(r_k \ne 0\), alors \(r_{k+1}\), est le reste de la division euclidienne de \(r_{k-1}\), par \(r_k\). Alors, cette suite d’entiers est nulle à partir d’un certain rang et la dernière valeur non nulle prise par cette suite est le PGCD de \(a\) et \(b\).	28, 30 + 37, 38 et 39 ici
9/12	Correction des exercices. 3. Corollaires de l’algorithme d’Euclide Corollaire Pour tous entiers naturels non nuls \(a\), \(b\) et \(k\), on a \(\text{PGCD}(ka~;~kb) = k \times \text{PGCD}(a~;~b)\). Remarque: Pour tout \(k \in \mathbb{Z}\), on a \(\text{PGCD}(ka~;~kb)=\|k\|\text{PGCD}(a~;~b)\). Corollaire Soient \(a\) et \(b\) deux entiers non simultanément nuls. \(d\) est un diviseur commun à \(a\) et \(b\) si, et seulement si, \(d\) divise \(\text{PGCD}(a~;~b)\). Voici le code de l’algorithme d’Euclide `def PGCD (a, b): if a < 0 or b<0: return PGCD(abs(a),abs(b)) if a < b: return PGCD(b,a) while a % b != 0: bufferA = a a = b b = bufferA % b return b`	Faire le 41 et 42 sur la fiche précédente + démontrer le dernier corollaire ici
16/12	correction et suite de cours de mathématiques expertes. Vous pourrez vous reposer pour après les vacances. Ecrire un algorithme, qui vous donne la décomposition d'un nombre en nombre premier.	Faire le 40, 41 et 42 sur la fiche précédente + démontrer le dernier corollaire ici
5/01	Voici la correction de votre DS 3 : ici correction et suite de cours de mathématiques expertes. II Nombres premiers entre eux 1. Définitions Définition Soient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs non nuls. On dit que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux lorsque leurs seuls diviseurs communs sont 1 et -1. Autrement dit, \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux lorsque \(\text{PGCD}(a~;~b) = 1\). Remarque: Deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux. Exemple 18 et 35 sont premiers entre eux car 35 est un multiple de 1;5;7 et 35 alors que 18 n’est divisible par aucun de ces nombres autres que 1. Donc le PGCD de 18 et 35 vaut 1. Propriété Soient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs non nuls. Soient \(d = \text{PGCD}(a~;~b)\) et \(a',~b'\) les entiers tels que \(a = da'\) et \(b = db'\). Alors \(a'\) et \(b'\) sont premiers entre eux. Réciproquement, s’il existe \(d \in \mathbb{N}\) et \(a',~b'\) des entiers premiers entre eux tels que \(a = da'\) et \(b = db'\), alors \(d\) est le PGCD de \(a\) et \(b\). EXEMPLE \(36 = 12 \times 3\) et \(60 = 12 \times 5\). Puisque 3 et 5 sont premiers entre eux, alors \(\text{PGCD}(60~;~36) = 12\). Voici les corrections	Exercice: 41 et 42 sur la fiche précédente + démontrer le dernier corollaire ici avec le fait que l'on puisse passer par le PGCD, comme on a pu le voire en cours aujourd'hui
6/1	Correction de l’exercice. 2. Théorème de Bézout LemmeTout sous-ensemble non vide de \(\mathbb{N}\) admet un plus petit élément. Remarque: Le théorème de Bézout donne l’existence d’entiers \(u\) et \(v\) mais ne donne pas de méthode pour en déterminer. Théorème dit de Bézout Soit \((a~;~b)\) un couple d’entiers relatifs non nuls. Alors \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(au + bv = 1\). Remarque: Il n’y a pas unicité des entiers \(u\) et \(v\) tels que \(au + bv = 1\).	10/1: ici Faire les exercices 43 à 46
10/1	correction des exercices. 3. Identité de Bézout et application aux équations diophantiennes PropriétéIdentité de Bézout Pour tout couple \((a~;~b) \in \mathbb{Z}^{\ast2}\), il existe \((u~;~v) \in \mathbb{Z}^2\) tel que \(au + bv = \text{PGCD}(a~;~b)\). Remarque: Le couple \((u~;~v)\) n’est pas unique. Exemple Le PGCD de \(84\) et \(18\) est \(6\) donc il existe des entiers \(u\) et \(v\) tels que \(84u + 18v = 6\). Pour les déterminer, on peut se ramener à l’équation diophantienne \(14u + 3v = 1\) dont une solution est \((-1~;~5)\). On vérifie: \(-84 + 18 \times 5 = -84 + 90 = 6\). Corollaire Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois entiers tels que \(a\) et \(b\) ne sont pas simultanément nuls. L’équation \(ax + by = c\) admet des couples d’entiers \((x~;~y)\) solutions si, et seulement si, le nombre c est un multiple de \(\text{PGCD} (a~;~b)\). Remarque: On appelle équation diophantienne une équation à coefficients entiers de la forme \(ax+by=c\), dont on cherche une solution entière (ou rationnelle). • L’équation \(12x + 4y = 32\) admet des couples d’entiers \((x~;~y)\) parmi ses solutions car \(\text{PGCD}(12 ; 4) = 4\) et \(4~\|~32\). • L’équation \(2x + 6y = 3\) n’admet pas de couples de solutions entières car \(\text{PGCD}(2~;~6) = 2\) et 2 ne divise pas 3. III Théorème de Gauss et applications 1. Théorème de Gauss Théorème Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois entiers relatifs non nuls. Si \(a~\|~bc\) et si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, alors \(a~\|~c\). Remarque: La condition \(a\) et \(b\) premiers entre eux est essentielle. Par exemple, \(4\) divise le produit \(2 \times 6 = 12\) mais 4 ne divise ni 2 ni 6. Exemple Soit \(n\) un diviseur impair de \(210 = 105 \times 2\). Comme \(n\) est premier avec 2 (car \(n\) est impair), le théorème de Gauss permet d’affirmer que \(n\) divise 105.	13/1: ici Faire les exercices 64,65, 66, 67, 69 et 75 + Et la démonstration: ici
13/1	correction des exercices. exercice de recherche	terminer : Les exercices non traités : ici Faire les exercices 64, 65, 66, 67, 69 et 75 faire les exercices: 71 et 72 ici et 81 à 86 ici

Vous aurez un contrôle lundi sur toute la partie congruence.

Chapitre I Arithmétique partie: Divisibilité et congruences dans \(\mathbb{Z}\)

Chapitre II Nombres complexes: point de vue algébrique

Chapitre III PGCD & Applications